賭博種類中的機率如何計算?深入解析各類賭博遊戲的數學原理
賭博機率的基本概念
在探討各類賭博遊戲的機率計算前,我們首先需要了解幾個關鍵的機率學概念,這些將幫助我們更深入地理解賭博背後的數學原理。
機率的定義與計算方式
機率(Probability)是衡量某事件發生可能性大小的數值,其範圍在0到1之間,其中0表示不可能發生,1表示必定發生。在賭博遊戲中,機率的計算通常遵循以下公式:
P(E) = 事件E發生的有利結果數 / 所有可能結果的總數
例如,在擲一枚公正硬幣時,出現正面的機率就是1(有利結果)除以2(所有可能結果),即0.5或50%。
期望值的意義與計算
期望值(Expected Value)是另一個賭博中極其重要的概念,它代表了長期下來每次賭注的平均回報。期望值的計算公式為:
EV = Σ (P(x) * x)
其中P(x)是結果x發生的機率,x是該結果對應的收益。在賭場遊戲中,絕大多數遊戲的期望值都是負的,這正是賭場能夠長期盈利的數學基礎。
獨立事件與相依事件
賭博中的事件可分為獨立事件和相依事件: - 獨立事件 :前一事件的結果不影響後一事件的結果,如輪盤的每次旋轉、擲骰子的每次投擲 - 相依事件 :前一事件的結果會影響後一事件的結果,如從牌組中連續抽牌(不放回)
理解這種區別對於正確計算賭博機率至關重要,特別是在二十一點、百家樂等使用牌組的遊戲中。
賠率與機率的關係
賭場遊戲中的賠率(Odds)通常表示為"a:b",意味著下注b元,若贏則可獲得a元的淨利潤(加上返還的本金b元,總共得到a+b元)。賠率與機率的關係為:
隱含機率 = b / (a + b)
例如,歐洲輪盤中押單一數字的賠率是35:1,其隱含機率就是1/(35+1)≈2.70%,但實際機率為1/37≈2.70%(因有37個數字,包括0),這兩者在輪盤中相等,正因如此輪盤有固定的莊家優勢。
常見賭博遊戲的機率分析
輪盤(Roulette)
輪盤是賭場中最經典的遊戲之一,主要有三種變體:美式輪盤(0和00)、歐式輪盤(只有0)和法式輪盤(某些特殊規則)。我們以歐式輪盤為例分析其機率:
- 單一數字下注 :直接押一個數字,賠率35:1
- 機率:1/37 ≈ 2.70%
-
莊家優勢(House Edge):(36/37 - 35/37) ≈ 2.70%
-
紅/黑、奇/偶、大/小等下注 :這些都是"1:1"的賭注
- 機率:18/37 ≈ 48.65%
- 莊家優勢:(19/37 - 18/37) ≈ 2.70%
美式輪盤由於多了一個00,所有賭注的莊家優勢上升至約5.26%,這正是為什麼賭場通常偏好使用美式輪盤的原因。
二十一點(Blackjack)
二十一點是賭場中少數幾種玩家可以通過基本策略(Basic Strategy)將莊家優勢降至最低(約0.5%)的遊戲。其機率計算更為複雜,因為:
- 遊戲使用多副牌(通常6-8副),且牌被抽出後不返還牌組
- 玩家的決策(要牌、停牌、分牌、加倍等)會影響結果
- 莊家的玩法是固定的(例如必須在16點時要牌,17點時停牌)
二十一點的基本機率可通過以下方式計算:
- 計算初始兩張牌達到某點的機率 :這需要考慮牌組中剩餘的牌值分布
- 根據莊家明牌估算莊家最終點數的機率 :這需要模擬莊家的固定玩法
- 比較玩家與莊家的最終點數分布 :確定勝、負、平局的機率
使用完美基本策略時,玩家與賭場的勝率大約如下: - 玩家勝:43.3% - 莊家勝:47.9% - 平局:8.8%
這意味著莊家優勢約為4.6%(47.9-43.3),但透過玩家可以加倍、分牌、保險等選項,以及3:2的黑傑克賠率,熟練玩家可將莊家優勢降至0.5%甚至更低。
百家樂(Baccarat)
百家樂是一種簡單的比大小遊戲,玩家只需選擇押注"莊家"、"閒家"或"和局"。其機率計算如下:
- 閒家勝 :
- 機率:約44.62%
-
賠率:1:1(通常賭場抽取5%佣金)
-
莊家勝 :
- 機率:約45.86%
-
賠率:0.95:1(因有5%佣金)
-
和局 :
- 機率:約9.52%
- 賠率:8:1或9:1(依賭場而異)
值得注意的是,儘管押莊家的勝率略高於閒家,但因有5%的佣金,長期來看: - 押閒家的莊家優勢:1.24% - 押莊家的莊家優勢:1.06% - 押和局的莊家優勢:高達14.4%(以8:1賠率計算)
這解釋了為什麼專業百家樂玩家通常只押莊家或閒家,而避開和局押注。
骰寶(Sic Bo)
骰寶是一種使用三顆骰子的遊戲,玩家可押注多種不同的結果組合。其機率計算基礎是三顆骰子的216種(6×6×6)可能組合:
- 押特定三同號(如三個1) :
- 機率:1/216 ≈ 0.46%
-
常見賠率:180:1(莊家優勢約16.2%)
-
押任意三同號 :
- 機率:6/216 ≈ 2.78%
-
常見賠率:30:1(莊家優勢約13.9%)
-
押總和(如總和4) :
- 機率計算較複雜,如總和4有3種組合(1-1-2,1-2-1,2-1-1)
- 總和4的機率:3/216 ≈ 1.39%
-
常見賠率:60:1(莊家優勢約15.3%)
-
押單一數字出現(如至少一個1) :
- 計算方式:1 - (5/6)^3 ≈ 42.13%
- 常見賠率:1:1(若出現一次),2:1(出現兩次),3:1(出現三次)
- 莊家優勢約7.87%
骰寶的莊家優勢普遍較高,這反映了其多樣化賭注所帶來的複雜性。
賭場優勢的數學分析
莊家優勢的計算方法
莊家優勢(House Edge)是賭場確保長期盈利的關鍵指標,其計算公式為:
House Edge = (玩家平均損失) / (初始賭注)
例如在歐式輪盤的單一數字下注中: - 玩家每次下注1元,預期可收回:35 × (1/37) + (-1) × (36/37) ≈ -0.027 - 莊家優勢即為2.7%
不同遊戲的莊家優勢比較
以下是一些常見賭博遊戲的莊家優勢比較:
- 二十一點(使用基本策略) :0.5%或更低
- 百家樂(押莊家) :1.06%
- 百家樂(押閒家) :1.24%
- 歐式輪盤 :2.7%
- 美式輪盤 :5.26%
- 骰寶(視賭注類型) :2.78%-16.2%
- 角子機(Slot Machines) :通常2%-15%,甚至更高
累進賭注系統的謬誤
許多賭徒相信所謂的「累進賭注系統」(如馬丁格爾系統)可以克服莊家優勢,但數學證明這些系統在長期下都是無效的:
- 馬丁格爾系統 :每次輸後加倍賭注,理論上下一次贏就能收回所有損失
- 問題:連續多次失利後所需賭注呈指數增長,而賭桌有上限
-
玩家資金有限,而賭場資金理論上無限
-
反馬丁格爾系統 :贏時增加賭注,輸時減少
-
問題:無法改變每次賭注的負期望值
-
其他系統 :所有基於過去結果調整賭注的系統都無法改變獨立事件的機率
數學證明,任何賭注系統都無法改變遊戲的期望值,因為每次賭注都是獨立事件(或已知依賴關係),期望值不會因賭注大小而改變。
賭博機率的實際應用
賭場遊戲選擇策略
了解各遊戲的機率後,理性玩家可以: 1. 選擇莊家優勢較低的遊戲(如二十一點、百家樂) 2. 避免莊家優勢極高的賭注(如骰寶的三同號、輪盤的五數下注) 3. 在二十一點中學習並嚴格遵守基本策略 4. 避開累進賭注系統的誘惑
賭博中的大數法則
大數法則(Law of Large Numbers)指出,隨著試驗次數增加,實際結果的相對頻率會趨近於理論機率。這意味著: - 短期內玩家可能因變異性而獲利 - 長期下來結果必然趨近於期望值,即玩家虧損 - 這解釋了為何賭場不擔心短期玩家贏錢—長期必然盈利
職業賭徒的數學策略
極少數職業賭徒通過以下方式獲得長期優勢: 1. 二十一點算牌 :追蹤已出的牌調整策略和下注 - 合法但不被賭場歡迎,可能被禁止進入 - 需要極高技巧和大量練習
- 體育博彩套利 :利用不同莊家的賠率差異
- 需要大量資金和快速反應
-
機會稀少且稍縱即逝
-
撲克技巧 :在對抗其他玩家而非賭場的遊戲中
- 依靠技術優勢而非純機率
- 需要極強的心理素質和技巧
這些方法都需要深厚的數學基礎、大量練習和嚴格的資金管理,絕非普通賭徒能夠輕易掌握。
結論:賭博機率的現實意義
了解賭博機率不僅是數學上的練習,更具有重要的現實意義:
- 認清賭場盈利的本質 :所有商業賭場遊戲的設計都確保了莊家的長期優勢
- 理性看待賭博 :作為娛樂活動,應設定嚴格的時間和資金限制
- 避免賭博謬誤 :如「熱手謬誤」、「賭徒謬誤」等錯誤認知
- 認識賭博風險 :高機率的小額損失往往比低機率的大額贏更值得關注
最後必須強調,本文僅從數學角度分析賭博機率,絕不鼓勵賭博行為。賭博可能導致嚴重的財務和心理問題,理智的決定是遠離賭博或僅在嚴格控制下進行最小限度的娛樂。記住,在賭場中,唯一確定的贏家永遠是賭場本身。